Derivada de y=5x^3−2/x^2+20^√5x^2+9.

1. diferenciamos $\left(20^{\left(\sqrt{5 x}\right)^{2}} + \left(5 x^{3} - \frac{2}{x^{2}}\right)\right) + 9$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $20^{\left(\sqrt{5 x}\right)^{2}} + \left(5 x^{3} - \frac{2}{x^{2}}\right)$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $5 x^{3} - \frac{2}{x^{2}}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

            Entonces, como resultado: $15 x^{2}$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Sustituimos $u = x^{2}$.

            2. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x^{2}$:

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- \frac{2}{x^{3}}$

            Entonces, como resultado: $\frac{4}{x^{3}}$

         Como resultado de: $15 x^{2} + \frac{4}{x^{3}}$

      2. Sustituimos $u = \left(\sqrt{5 x}\right)^{2}$.

      3. $\frac{d}{d u} 20^{u} = 20^{u} \log{\left(20 \right)}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\sqrt{5 x}\right)^{2}$:

         1. Sustituimos $u = \sqrt{5 x}$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{5 x}$:

            1. Sustituimos $u = 5 x$.

            2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $5$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $5 \cdot 20^{\left(\sqrt{5 x}\right)^{2}} \log{\left(20 \right)}$

      Como resultado de: $5 \cdot 20^{\left(\sqrt{5 x}\right)^{2}} \log{\left(20 \right)} + 15 x^{2} + \frac{4}{x^{3}}$

   2. La derivada de una constante $9$ es igual a cero.

   Como resultado de: $5 \cdot 20^{\left(\sqrt{5 x}\right)^{2}} \log{\left(20 \right)} + 15 x^{2} + \frac{4}{x^{3}}$

2. Simplificamos:

   $5 \cdot 3200000^{x} \log{\left(20 \right)} + 15 x^{2} + \frac{4}{x^{3}}$

Respuesta:

$5 \cdot 3200000^{x} \log{\left(20 \right)} + 15 x^{2} + \frac{4}{x^{3}}$