Derivada de y=2tg^5(2x/5)

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. Sustituimos $u = \tan{\left(\frac{2 x}{5} \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{2 x}{5} \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(\frac{2 x}{5} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{\cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \frac{2 x}{5}$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{2 x}{5}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $2$

               Entonces, como resultado: $\frac{2}{5}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{2 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{5}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \frac{2 x}{5}$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{2 x}{5}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $2$

               Entonces, como resultado: $\frac{2}{5}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{2 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{5}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{\frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{2}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{5}}{\cos^{2}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{5 \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{2}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{5}\right) \tan^{4}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}$

   Entonces, como resultado: $\frac{10 \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{2}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{5}\right) \tan^{4}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{4 \tan^{4}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{4 \tan^{4}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}$