Derivada de y=tg2x+ctg(3x^2)

1. diferenciamos $\tan{\left(2 x \right)} + \cot{\left(3 x^{2} \right)}$ miembro por miembro:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 \cos{\left(2 x \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

   3. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\cot{\left(3 x^{2} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(3 x^{2} \right)}}$

      2. Sustituimos $u = \tan{\left(3 x^{2} \right)}$.

      3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x^{2} \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 3 x^{2}$.

         2. $\frac{d}{d u} \tan{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x^{2}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Entonces, como resultado: $6 x$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{6 x}{\cos^{2}{\left(3 x^{2} \right)}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{6 x \sin^{2}{\left(3 x^{2} \right)} + 6 x \cos^{2}{\left(3 x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x^{2} \right)} \tan^{2}{\left(3 x^{2} \right)}}$

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\cot{\left(3 x^{2} \right)} = \frac{\cos{\left(3 x^{2} \right)}}{\sin{\left(3 x^{2} \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x^{2} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x^{2} \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 3 x^{2}$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x^{2}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Entonces, como resultado: $6 x$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 6 x \sin{\left(3 x^{2} \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 3 x^{2}$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x^{2}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Entonces, como resultado: $6 x$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $6 x \cos{\left(3 x^{2} \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{- 6 x \sin^{2}{\left(3 x^{2} \right)} - 6 x \cos^{2}{\left(3 x^{2} \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x^{2} \right)}}$

   Como resultado de: $- \frac{6 x \sin^{2}{\left(3 x^{2} \right)} + 6 x \cos^{2}{\left(3 x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x^{2} \right)} \tan^{2}{\left(3 x^{2} \right)}} + \frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 \left(- 3 x \cos^{2}{\left(2 x \right)} + \sin^{2}{\left(3 x^{2} \right)}\right)}{\sin^{2}{\left(3 x^{2} \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(- 3 x \cos^{2}{\left(2 x \right)} + \sin^{2}{\left(3 x^{2} \right)}\right)}{\sin^{2}{\left(3 x^{2} \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}$