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y=-ctg(x/2)-1/3ctg^3(x/2)

Derivada de y=-ctg(x/2)-1/3ctg^3(x/2)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
              3/x\
           cot |-|
     /x\       \2/
- cot|-| - -------
     \2/      3   
$$- \frac{\cot^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
-cot(x/2) - cot(x/2)^3/3
Solución detallada
  1. diferenciamos miembro por miembro:

    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

        Method #1

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        2. Sustituimos .

        3. Según el principio, aplicamos: tenemos

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            y .

            Para calcular :

            1. Sustituimos .

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: tenemos

                Entonces, como resultado:

              Como resultado de la secuencia de reglas:

            Para calcular :

            1. Sustituimos .

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: tenemos

                Entonces, como resultado:

              Como resultado de la secuencia de reglas:

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          Como resultado de la secuencia de reglas:

        Method #2

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          y .

          Para calcular :

          1. Sustituimos .

          2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: tenemos

              Entonces, como resultado:

            Como resultado de la secuencia de reglas:

          Para calcular :

          1. Sustituimos .

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: tenemos

              Entonces, como resultado:

            Como resultado de la secuencia de reglas:

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      Entonces, como resultado:

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos .

      2. Según el principio, aplicamos: tenemos

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

        1. Sustituimos .

        2. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: tenemos

            Entonces, como resultado:

          Como resultado de la secuencia de reglas:

        Como resultado de la secuencia de reglas:

      Entonces, como resultado:

    Como resultado de:

  2. Simplificamos:


Respuesta:

Gráfica
Primera derivada [src]
                      /           2/x\\
                      |      3*cot |-||
       2/x\      2/x\ |  3         \2/|
    cot |-|   cot |-|*|- - - ---------|
1       \2/       \2/ \  2       2    /
- + ------- - -------------------------
2      2                  3            
$$- \frac{\left(- \frac{3 \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{3}{2}\right) \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$
Segunda derivada [src]
 /       2/x\\ /         2/x\\    /x\ 
-|1 + cot |-||*|2 + 2*cot |-||*cot|-| 
 \        \2// \          \2//    \2/ 
--------------------------------------
                  2                   
$$- \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \left(2 \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2\right) \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$
Tercera derivada [src]
              /                 2                                                  \
/       2/x\\ |    /       2/x\\         4/x\        2/x\        2/x\ /       2/x\\|
|1 + cot |-||*|1 + |1 + cot |-||  + 2*cot |-| + 3*cot |-| + 7*cot |-|*|1 + cot |-|||
\        \2// \    \        \2//          \2/         \2/         \2/ \        \2///
------------------------------------------------------------------------------------
                                         4                                          
$$\frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \left(\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2} + 7 \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \cot^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 3 \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)}{4}$$
Gráfico
Derivada de y=-ctg(x/2)-1/3ctg^3(x/2)