Derivada de y=7x/lnx^7

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 7 x$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}^{7}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $7$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{7}$ tenemos $7 u^{6}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{7 \log{\left(x \right)}^{6}}{x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{7 \log{\left(x \right)}^{7} - 49 \log{\left(x \right)}^{6}}{\log{\left(x \right)}^{14}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{7 \left(\log{\left(x \right)} - 7\right)}{\log{\left(x \right)}^{8}}$

Respuesta:

$\frac{7 \left(\log{\left(x \right)} - 7\right)}{\log{\left(x \right)}^{8}}$