Derivada de y=(sinx+cosx)*(sinx-cos2x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = 2 x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

         Entonces, como resultado: $2 \sin{\left(2 x \right)}$

      Como resultado de: $2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) + \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)$

2. Simplificamos:

   $\sqrt{2} \left(\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \left(4 \sin{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(x \right)}\right)$

Respuesta:

$\sqrt{2} \left(\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \left(4 \sin{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(x \right)}\right)$