Derivada de y=1/3tan^3(2x-pi/4)

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. Sustituimos $u = \tan{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 2 x - \frac{\pi}{4}$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x - \frac{\pi}{4}\right)$:

            1. diferenciamos $2 x - \frac{\pi}{4}$ miembro por miembro:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $2$

               2. La derivada de una constante $- \frac{\pi}{4}$ es igual a cero.

               Como resultado de: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $2 \cos{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 2 x - \frac{\pi}{4}$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x - \frac{\pi}{4}\right)$:

            1. diferenciamos $2 x - \frac{\pi}{4}$ miembro por miembro:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $2$

               2. La derivada de una constante $- \frac{\pi}{4}$ es igual a cero.

               Como resultado de: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 2 \sin{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{3 \left(2 \sin^{2}{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}\right) \tan^{2}{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}}$

   Entonces, como resultado: $\frac{\left(2 \sin^{2}{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}\right) \tan^{2}{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x - \frac{\pi}{4} \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + 2\right) \cot^{2}{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(4 x \right)} + 1}$

Respuesta:

$\frac{\left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + 2\right) \cot^{2}{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(4 x \right)} + 1}$