Derivada de y=(x-8)^2*(4x-x^2)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \left(x - 8\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x - 8$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 8\right)$:

      1. diferenciamos $x - 8$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $-8$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 x - 16$

   $g{\left(x \right)} = - x^{2} + 4 x$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $- x^{2} + 4 x$ miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $4$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Entonces, como resultado: $- 2 x$

      Como resultado de: $4 - 2 x$

   Como resultado de: $\left(4 - 2 x\right) \left(x - 8\right)^{2} + \left(2 x - 16\right) \left(- x^{2} + 4 x\right)$

2. Simplificamos:

   $- 4 x^{3} + 60 x^{2} - 256 x + 256$

Respuesta:

$- 4 x^{3} + 60 x^{2} - 256 x + 256$