Derivada de y=(3x^2+5)^3/(2x-3)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(3 x^{2} + 5\right)^{3}$ y $g{\left(x \right)} = 2 x - 3$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x^{2} + 5$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 5\right)$:

      1. diferenciamos $3 x^{2} + 5$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Entonces, como resultado: $6 x$

         Como resultado de: $6 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $18 x \left(3 x^{2} + 5\right)^{2}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $2 x - 3$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $-3$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de: $2$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{18 x \left(2 x - 3\right) \left(3 x^{2} + 5\right)^{2} - 2 \left(3 x^{2} + 5\right)^{3}}{\left(2 x - 3\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(3 x^{2} + 5\right)^{2} \left(- 6 x^{2} + 18 x \left(2 x - 3\right) - 10\right)}{\left(2 x - 3\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x^{2} + 5\right)^{2} \left(- 6 x^{2} + 18 x \left(2 x - 3\right) - 10\right)}{\left(2 x - 3\right)^{2}}$