Derivada de x(x³-3x-3)/(x⁴)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(x^{3} - 3 x - 3\right)$ y $g{\left(x \right)} = x^{4}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = x^{3} - 3 x - 3$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x^{3} - 3 x - 3$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-3$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

         3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-3$

         Como resultado de: $3 x^{2} - 3$

      Como resultado de: $x^{3} + x \left(3 x^{2} - 3\right) - 3 x - 3$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 4 x^{4} \left(x^{3} - 3 x - 3\right) + x^{4} \left(x^{3} + x \left(3 x^{2} - 3\right) - 3 x - 3\right)}{x^{8}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{3 \left(2 x + 3\right)}{x^{4}}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(2 x + 3\right)}{x^{4}}$