Derivada de (x+tg(x))/(x-ctg(x))

Solución

Ha introducido [src]

x + tan(x)
----------
x - cot(x)

$$\frac{x + \tan{\left(x \right)}}{x - \cot{\left(x \right)}}$$

(x + tan(x))/(x - cot(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x + \tan{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x - \cot{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $x + \tan{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  2. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  3. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  Como resultado de: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $x - \cot{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Hay varias formas de calcular esta derivada.
      Method #1
      
      Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
      
      Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
      
      Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
      
      Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
      Method #2
      
      Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
      
      Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
    Entonces, como resultado: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
  Como resultado de: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 1$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- \left(x + \tan{\left(x \right)}\right) \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) + \left(x - \cot{\left(x \right)}\right) \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right)}{\left(x - \cot{\left(x \right)}\right)^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{x \tan^{4}{\left(x \right)} - x - 3 \tan^{3}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)}}{\left(x \tan{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{x \tan^{4}{\left(x \right)} - x - 3 \tan^{3}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)}}{\left(x \tan{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

       2      /        2   \             
2 + tan (x)   \-2 - cot (x)/*(x + tan(x))
----------- + ---------------------------
 x - cot(x)                      2       
                     (x - cot(x))

$$\frac{\left(x + \tan{\left(x \right)}\right) \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 2\right)}{\left(x - \cot{\left(x \right)}\right)^{2}} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2}{x - \cot{\left(x \right)}}$$

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Segunda derivada [src]

  /                                    /             2                       \                              \
  |                                    |/       2   \                        |                              |
  |                                    |\2 + cot (x)/    /       2   \       |                              |
  |                       (x + tan(x))*|-------------- + \1 + cot (x)/*cot(x)|   /       2   \ /       2   \|
  |/       2   \                       \  x - cot(x)                         /   \2 + cot (x)/*\2 + tan (x)/|
2*|\1 + tan (x)/*tan(x) + ---------------------------------------------------- - ---------------------------|
  \                                            x - cot(x)                                 x - cot(x)        /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                  x - cot(x)

$$\frac{2 \left(\frac{\left(x + \tan{\left(x \right)}\right) \left(\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + \frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right)^{2}}{x - \cot{\left(x \right)}}\right)}{x - \cot{\left(x \right)}} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right)}{x - \cot{\left(x \right)}}\right)}{x - \cot{\left(x \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

  /                                             /                                                          3                                       \                                                                                                 \
  |                                             |             2                               /       2   \      /       2   \ /       2   \       |                   /             2                       \                                       |
  |                                             |/       2   \         2    /       2   \   3*\2 + cot (x)/    6*\1 + cot (x)/*\2 + cot (x)/*cot(x)|                   |/       2   \                        |                                       |
  |                                (x + tan(x))*|\1 + cot (x)/  + 2*cot (x)*\1 + cot (x)/ + ---------------- + ------------------------------------|     /       2   \ |\2 + cot (x)/    /       2   \       |                                       |
  |                                             |                                                        2                  x - cot(x)             |   3*\2 + tan (x)/*|-------------- + \1 + cot (x)/*cot(x)|     /       2   \ /       2   \       |
  |/       2   \ /         2   \                \                                            (x - cot(x))                                          /                   \  x - cot(x)                         /   3*\1 + tan (x)/*\2 + cot (x)/*tan(x)|
2*|\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/ - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------- - ------------------------------------|
  \                                                                                    x - cot(x)                                                                             x - cot(x)                                      x - cot(x)             /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                      x - cot(x)

$$\frac{2 \left(- \frac{\left(x + \tan{\left(x \right)}\right) \left(\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} + \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \cot{\left(x \right)}}{x - \cot{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right)^{3}}{\left(x - \cot{\left(x \right)}\right)^{2}}\right)}{x - \cot{\left(x \right)}} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{3 \left(\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + \frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right)^{2}}{x - \cot{\left(x \right)}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right)}{x - \cot{\left(x \right)}} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}{x - \cot{\left(x \right)}}\right)}{x - \cot{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Derivada de (x+tg(x))/(x-ctg(x))

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2