Derivada de (z^2)/((z+3i)^2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}$

   $f{\left(z \right)} = z^{2}$ y $g{\left(z \right)} = \left(z + 3 i\right)^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $z^{2}$ tenemos $2 z$

   Para calcular $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

   1. Sustituimos $u = z + 3 i$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \left(z + 3 i\right)$:

      1. diferenciamos $z + 3 i$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $3 i$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 z + 6 i$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- z^{2} \left(2 z + 6 i\right) + 2 z \left(z + 3 i\right)^{2}}{\left(z + 3 i\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{6 i z}{z^{3} + 9 i z^{2} - 27 z - 27 i}$

Respuesta:

$\frac{6 i z}{z^{3} + 9 i z^{2} - 27 z - 27 i}$