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Derivada de x/sqrt(a*x^3+b*x^2+c*x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          x           
----------------------
   ___________________
  /    3      2       
\/  a*x  + b*x  + c*x 
xcx+(ax3+bx2)\frac{x}{\sqrt{c x + \left(a x^{3} + b x^{2}\right)}}
x/sqrt(a*x^3 + b*x^2 + c*x)
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=xf{\left(x \right)} = x y g(x)=ax3+bx2+cxg{\left(x \right)} = \sqrt{a x^{3} + b x^{2} + c x}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=ax3+bx2+cxu = a x^{3} + b x^{2} + c x.

    2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por x(ax3+bx2+cx)\frac{\partial}{\partial x} \left(a x^{3} + b x^{2} + c x\right):

      1. diferenciamos ax3+bx2+cxa x^{3} + b x^{2} + c x miembro por miembro:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: x3x^{3} tenemos 3x23 x^{2}

          Entonces, como resultado: 3ax23 a x^{2}

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

          Entonces, como resultado: 2bx2 b x

        3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: cc

        Como resultado de: 3ax2+2bx+c3 a x^{2} + 2 b x + c

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      3ax2+2bx+c2ax3+bx2+cx\frac{3 a x^{2} + 2 b x + c}{2 \sqrt{a x^{3} + b x^{2} + c x}}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    x(3ax2+2bx+c)2ax3+bx2+cx+ax3+bx2+cxax3+bx2+cx\frac{- \frac{x \left(3 a x^{2} + 2 b x + c\right)}{2 \sqrt{a x^{3} + b x^{2} + c x}} + \sqrt{a x^{3} + b x^{2} + c x}}{a x^{3} + b x^{2} + c x}

  2. Simplificamos:

    x(ax2+c)2(x(ax2+bx+c))32\frac{x \left(- a x^{2} + c\right)}{2 \left(x \left(a x^{2} + b x + c\right)\right)^{\frac{3}{2}}}


Respuesta:

x(ax2+c)2(x(ax2+bx+c))32\frac{x \left(- a x^{2} + c\right)}{2 \left(x \left(a x^{2} + b x + c\right)\right)^{\frac{3}{2}}}

Primera derivada [src]
                            /               2\ 
                            |c         3*a*x | 
                          x*|- + b*x + ------| 
          1                 \2           2   / 
---------------------- - ----------------------
   ___________________                      3/2
  /    3      2          /   3      2      \   
\/  a*x  + b*x  + c*x    \a*x  + b*x  + c*x/   
x(3ax22+bx+c2)(cx+(ax3+bx2))32+1cx+(ax3+bx2)- \frac{x \left(\frac{3 a x^{2}}{2} + b x + \frac{c}{2}\right)}{\left(c x + \left(a x^{3} + b x^{2}\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{c x + \left(a x^{3} + b x^{2}\right)}}
Segunda derivada [src]
 /                       /                                     2\\ 
 |                       |                 /                 2\ || 
 |                       |               3*\c + 2*b*x + 3*a*x / || 
 |                     x*|4*b + 12*a*x - -----------------------|| 
 |                       |                    /       2      \  || 
 |                 2     \                  x*\c + a*x  + b*x/  /| 
-|c + 2*b*x + 3*a*x  + ------------------------------------------| 
 \                                         4                     / 
-------------------------------------------------------------------
                                          3/2                      
                      /  /       2      \\                         
                      \x*\c + a*x  + b*x//                         
3ax2+2bx+c+x(12ax+4b3(3ax2+2bx+c)2x(ax2+bx+c))4(x(ax2+bx+c))32- \frac{3 a x^{2} + 2 b x + c + \frac{x \left(12 a x + 4 b - \frac{3 \left(3 a x^{2} + 2 b x + c\right)^{2}}{x \left(a x^{2} + b x + c\right)}\right)}{4}}{\left(x \left(a x^{2} + b x + c\right)\right)^{\frac{3}{2}}}
Tercera derivada [src]
   /              /                            3                                      \                          \
   |              |        /                 2\                   /                 2\|                          |
   |              |      5*\c + 2*b*x + 3*a*x /    12*(b + 3*a*x)*\c + 2*b*x + 3*a*x /|                          |
   |            x*|8*a + ----------------------- - -----------------------------------|                          |
   |              |                           2               /       2      \        |                         2|
   |              |         2 /       2      \              x*\c + a*x  + b*x/        |     /                 2\ |
   |              \        x *\c + a*x  + b*x/                                        /   3*\c + 2*b*x + 3*a*x / |
-3*|b + 3*a*x + ----------------------------------------------------------------------- - -----------------------|
   |                                               8                                            /       2      \ |
   \                                                                                        4*x*\c + a*x  + b*x/ /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                 3/2                                              
                                             /  /       2      \\                                                 
                                             \x*\c + a*x  + b*x//                                                 
3(3ax+b+x(8a12(3ax+b)(3ax2+2bx+c)x(ax2+bx+c)+5(3ax2+2bx+c)3x2(ax2+bx+c)2)83(3ax2+2bx+c)24x(ax2+bx+c))(x(ax2+bx+c))32- \frac{3 \left(3 a x + b + \frac{x \left(8 a - \frac{12 \left(3 a x + b\right) \left(3 a x^{2} + 2 b x + c\right)}{x \left(a x^{2} + b x + c\right)} + \frac{5 \left(3 a x^{2} + 2 b x + c\right)^{3}}{x^{2} \left(a x^{2} + b x + c\right)^{2}}\right)}{8} - \frac{3 \left(3 a x^{2} + 2 b x + c\right)^{2}}{4 x \left(a x^{2} + b x + c\right)}\right)}{\left(x \left(a x^{2} + b x + c\right)\right)^{\frac{3}{2}}}