Sr Examen

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y=е^ctg(sqrtx)
Derivada de la función/ sqrtx/ y=е^ctg(sqrtx)

Derivada de y=е^ctg(sqrtx)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
    /  ___\
 cot\\/ x /
E
ecot⁡(x)e^{\cot{\left(\sqrt{x} \right)}} 
E^cot(sqrt(x))
Solución detallada

  1. Sustituimos u=cot⁡(x)u = \cot{\left(\sqrt{x} \right)}.

  2. Derivado eue^{u} es.

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡(x)\frac{d}{d x} \cot{\left(\sqrt{x} \right)}:

    1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(\sqrt{x} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\sqrt{x} \right)}}

      2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(\sqrt{x} \right)}.

      3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}:

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(\sqrt{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=xu = \sqrt{x}.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx\frac{d}{d x} \sqrt{x}:

            1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            cos⁡(x)2x\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=xu = \sqrt{x}.

          2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx\frac{d}{d x} \sqrt{x}:

            1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −sin⁡(x)2x- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          sin⁡2(x)2x+cos⁡2(x)2xcos⁡2(x)\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −sin⁡2(x)2x+cos⁡2(x)2xcos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(\sqrt{x} \right)} = \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=xu = \sqrt{x}.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx\frac{d}{d x} \sqrt{x}:

          1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −sin⁡(x)2x- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=xu = \sqrt{x}.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx\frac{d}{d x} \sqrt{x}:

          1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          cos⁡(x)2x\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −sin⁡2(x)2x−cos⁡2(x)2xsin⁡2(x)\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} - \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    −(sin⁡2(x)2x+cos⁡2(x)2x)ecot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right) e^{\cot{\left(\sqrt{x} \right)}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}

  4. Simplificamos:

    −e1tan⁡(x)2xsin⁡2(x)- \frac{e^{\frac{1}{\tan{\left(\sqrt{x} \right)}}}}{2 \sqrt{x} \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}

Respuesta:

−e1tan⁡(x)2xsin⁡2(x)- \frac{e^{\frac{1}{\tan{\left(\sqrt{x} \right)}}}}{2 \sqrt{x} \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5e235e23
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                       /  ___\
/        2/  ___\\  cot\\/ x /
\-1 - cot \\/ x //*e          
------------------------------
               ___            
           2*\/ x
(−cot⁡2(x)−1)ecot⁡(x)2x\frac{\left(- \cot^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} - 1\right) e^{\cot{\left(\sqrt{x} \right)}}}{2 \sqrt{x}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                  /              2/  ___\        /  ___\\     /  ___\
/       2/  ___\\ | 1     1 + cot \\/ x /   2*cot\\/ x /|  cot\\/ x /
\1 + cot \\/ x //*|---- + --------------- + ------------|*e          
                  | 3/2          x               x      |            
                  \x                                    /            
---------------------------------------------------------------------
                                  4
(cot⁡2(x)+1)(cot⁡2(x)+1x+2cot⁡(x)x+1x32)ecot⁡(x)4\frac{\left(\cot^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \left(\frac{\cot^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1}{x} + \frac{2 \cot{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) e^{\cot{\left(\sqrt{x} \right)}}}{4}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                   /                        2                                                                                                            \             
                   |       /       2/  ___\\      /       2/  ___\\     /       2/  ___\\        2/  ___\        /  ___\     /       2/  ___\\    /  ___\|     /  ___\ 
 /       2/  ___\\ | 3     \1 + cot \\/ x //    2*\1 + cot \\/ x //   3*\1 + cot \\/ x //   4*cot \\/ x /   6*cot\\/ x /   6*\1 + cot \\/ x //*cot\\/ x /|  cot\\/ x / 
-\1 + cot \\/ x //*|---- + ------------------ + ------------------- + ------------------- + ------------- + ------------ + ------------------------------|*e           
                   | 5/2           3/2                   3/2                    2                 3/2             2                      3/2             |             
                   \x             x                     x                      x                 x               x                      x                /             
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                   8
−(cot⁡2(x)+1)(3(cot⁡2(x)+1)x2+6cot⁡(x)x2+(cot⁡2(x)+1)2x32+6(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)x32+2(cot⁡2(x)+1)x32+4cot⁡2(x)x32+3x52)ecot⁡(x)8- \frac{\left(\cot^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \left(\frac{3 \left(\cot^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)}{x^{2}} + \frac{6 \cot{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{\left(\cot^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)^{2}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \cot{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \cot^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}\right) e^{\cot{\left(\sqrt{x} \right)}}}{8}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=е^ctg(sqrtx)
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