Derivada de y=e^xcos^4x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   $g{\left(x \right)} = \cos^{4}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $- 4 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + e^{x} \cos^{4}{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(- 4 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} \cos^{3}{\left(x \right)}$

Respuesta:

$\left(- 4 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} \cos^{3}{\left(x \right)}$