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y=tg((1-e^x)/(e^x+1))
Derivada de la función/ 1-e^x/ e^x+1/ y=tg((1-e^x)/(e^x+1))

Derivada de y=tg((1-e^x)/(e^x+1))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   /     x\
   |1 - E |
tan|------|
   | x    |
   \E  + 1/
tan⁡(1−exex+1)\tan{\left(\frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1} \right)} 
tan((1 - E^x)/(E^x + 1))
Solución detallada

  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

    tan⁡(1−exex+1)=sin⁡(1−exex+1)cos⁡(1−exex+1)\tan{\left(\frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1} \right)}}{\cos{\left(\frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1} \right)}}

  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=sin⁡(1−exex+1)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1} \right)} y g(x)=cos⁡(1−exex+1)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1} \right)}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=1−exex+1u = \frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1}.

    2. La derivada del seno es igual al coseno:

      ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx1−exex+1\frac{d}{d x} \frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1}:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=1−exf{\left(x \right)} = 1 - e^{x} y g(x)=ex+1g{\left(x \right)} = e^{x} + 1.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. diferenciamos 1−ex1 - e^{x} miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Derivado exe^{x} es.

            Entonces, como resultado: −ex- e^{x}

          Como resultado de: −ex- e^{x}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. diferenciamos ex+1e^{x} + 1 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

          2. Derivado exe^{x} es.

          Como resultado de: exe^{x}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −(1−ex)ex−(ex+1)ex(ex+1)2\frac{- \left(1 - e^{x}\right) e^{x} - \left(e^{x} + 1\right) e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      (−(1−ex)ex−(ex+1)ex)cos⁡(1−exex+1)(ex+1)2\frac{\left(- \left(1 - e^{x}\right) e^{x} - \left(e^{x} + 1\right) e^{x}\right) \cos{\left(\frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1} \right)}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=1−exex+1u = \frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1}.

    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx1−exex+1\frac{d}{d x} \frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1}:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=1−exf{\left(x \right)} = 1 - e^{x} y g(x)=ex+1g{\left(x \right)} = e^{x} + 1.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. diferenciamos 1−ex1 - e^{x} miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Derivado exe^{x} es.

            Entonces, como resultado: −ex- e^{x}

          Como resultado de: −ex- e^{x}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. diferenciamos ex+1e^{x} + 1 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

          2. Derivado exe^{x} es.

          Como resultado de: exe^{x}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −(1−ex)ex−(ex+1)ex(ex+1)2\frac{- \left(1 - e^{x}\right) e^{x} - \left(e^{x} + 1\right) e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −(−(1−ex)ex−(ex+1)ex)sin⁡(1−exex+1)(ex+1)2- \frac{\left(- \left(1 - e^{x}\right) e^{x} - \left(e^{x} + 1\right) e^{x}\right) \sin{\left(\frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1} \right)}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    (−(1−ex)ex−(ex+1)ex)sin⁡2(1−exex+1)(ex+1)2+(−(1−ex)ex−(ex+1)ex)cos⁡2(1−exex+1)(ex+1)2cos⁡2(1−exex+1)\frac{\frac{\left(- \left(1 - e^{x}\right) e^{x} - \left(e^{x} + 1\right) e^{x}\right) \sin^{2}{\left(\frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1} \right)}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} + \frac{\left(- \left(1 - e^{x}\right) e^{x} - \left(e^{x} + 1\right) e^{x}\right) \cos^{2}{\left(\frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1} \right)}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1} \right)}}

  3. Simplificamos:

    −12cos⁡2(tanh⁡(x2))cosh⁡2(x2)- \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} \cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

Respuesta:

−12cos⁡2(tanh⁡(x2))cosh⁡2(x2)- \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} \cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10105-5
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
/        /     x\\ /     x     /     x\  x\
|       2|1 - E || |    e      \1 - E /*e |
|1 + tan |------||*|- ------ - -----------|
|        | x    || |   x                2 |
\        \E  + 1// |  E  + 1    / x    \  |
                   \            \E  + 1/  /
(−(1−ex)ex(ex+1)2−exex+1)(tan⁡2(1−exex+1)+1)\left(- \frac{\left(1 - e^{x}\right) e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{1 - e^{x}}{e^{x} + 1} \right)} + 1\right)
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                    /                                                         2                \   
                    |                                           /           x\        /      x\|   
                    |                                           |     -1 + e |   x    |-1 + e ||   
                    |                                         2*|-1 + -------| *e *tan|-------||   
/        /      x\\ |           x       x      /      x\  x     |           x|        |      x||   
|       2|-1 + e || |     -1 + e     2*e     2*\-1 + e /*e      \      1 + e /        \ 1 + e /|  x
|1 + tan |-------||*|-1 + ------- + ------ - -------------- - ---------------------------------|*e 
|        |      x|| |           x        x             2                         x             |   
\        \ 1 + e // |      1 + e    1 + e      /     x\                     1 + e              |   
                    \                          \1 + e /                                        /   
---------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                    x                                              
                                               1 + e
(tan⁡2(ex−1ex+1)+1)(−2(ex−1ex+1−1)2extan⁡(ex−1ex+1)ex+1+ex−1ex+1−2(ex−1)ex(ex+1)2−1+2exex+1)exex+1\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \right)} + 1\right) \left(- \frac{2 \left(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} - 1\right)^{2} e^{x} \tan{\left(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \right)}}{e^{x} + 1} + \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} - \frac{2 \left(e^{x} - 1\right) e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} - 1 + \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}\right) e^{x}}{e^{x} + 1}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                    /                                                                                        3                                            3                        /           x\ /           x       x      /      x\  x\       /      x\\   
                    |                                                                          /           x\  /        /      x\\          /           x\      /      x\          |     -1 + e | |     -1 + e     2*e     2*\-1 + e /*e |  x    |-1 + e ||   
                    |                                                                          |     -1 + e |  |       2|-1 + e ||  2*x     |     -1 + e |     2|-1 + e |  2*x   6*|-1 + -------|*|-1 + ------- + ------ - --------------|*e *tan|-------||   
                    |                                                                        2*|-1 + -------| *|1 + tan |-------||*e      4*|-1 + -------| *tan |-------|*e        |           x| |           x        x             2   |       |      x||   
/        /      x\\ |           x        2*x        x      /      x\  x     /      x\  2*x     |           x|  |        |      x||          |           x|      |      x|          \      1 + e / |      1 + e    1 + e      /     x\    |       \ 1 + e /|   
|       2|-1 + e || |     -1 + e      6*e        6*e     6*\-1 + e /*e    6*\-1 + e /*e        \      1 + e /  \        \ 1 + e //          \      1 + e /      \ 1 + e /                         \                          \1 + e /    /                |  x
|1 + tan |-------||*|-1 + ------- - --------- + ------ - -------------- + ---------------- + ------------------------------------------ + ------------------------------------ - -------------------------------------------------------------------------|*e 
|        |      x|| |           x           2        x             2                 3                               2                                         2                                                        x                                 |   
\        \ 1 + e // |      1 + e    /     x\    1 + e      /     x\          /     x\                        /     x\                                  /     x\                                                    1 + e                                  |   
                    \               \1 + e /               \1 + e /          \1 + e /                        \1 + e /                                  \1 + e /                                                                                           /   
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                 x                                                                                                                            
                                                                                                                            1 + e
(tan⁡2(ex−1ex+1)+1)(2(ex−1ex+1−1)3(tan⁡2(ex−1ex+1)+1)e2x(ex+1)2+4(ex−1ex+1−1)3e2xtan⁡2(ex−1ex+1)(ex+1)2−6(ex−1ex+1−1)(ex−1ex+1−2(ex−1)ex(ex+1)2−1+2exex+1)extan⁡(ex−1ex+1)ex+1+ex−1ex+1−6(ex−1)ex(ex+1)2+6(ex−1)e2x(ex+1)3−1+6exex+1−6e2x(ex+1)2)exex+1\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \right)} + 1\right) \left(\frac{2 \left(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} - 1\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \right)} + 1\right) e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} + \frac{4 \left(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} - 1\right)^{3} e^{2 x} \tan^{2}{\left(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \right)}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} - \frac{6 \left(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} - 1\right) \left(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} - \frac{2 \left(e^{x} - 1\right) e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} - 1 + \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}\right) e^{x} \tan{\left(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \right)}}{e^{x} + 1} + \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} - \frac{6 \left(e^{x} - 1\right) e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} + \frac{6 \left(e^{x} - 1\right) e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{3}} - 1 + \frac{6 e^{x}}{e^{x} + 1} - \frac{6 e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right) e^{x}}{e^{x} + 1}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=tg((1-e^x)/(e^x+1))
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