Derivada de y=1/2(cos(x/2))^2

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. Sustituimos $u = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

   Entonces, como resultado: $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{4}$

Respuesta:

$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{4}$