Derivada de y=(sinx+cosx)^5

1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$.

2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)$:

   1. diferenciamos $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $5 \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{4}$

4. Simplificamos:

   $20 \sqrt{2} \sin^{4}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

Respuesta:

$20 \sqrt{2} \sin^{4}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$