Derivada de y=(x^8)/(8(1-x^2)^4)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{8}$ y $g{\left(x \right)} = 8 \left(1 - x^{2}\right)^{4}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{8}$ tenemos $8 x^{7}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = 1 - x^{2}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - x^{2}\right)$:

         1. diferenciamos $1 - x^{2}$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Entonces, como resultado: $- 2 x$

            Como resultado de: $- 2 x$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 8 x \left(1 - x^{2}\right)^{3}$

      Entonces, como resultado: $- 64 x \left(1 - x^{2}\right)^{3}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{64 x^{9} \left(1 - x^{2}\right)^{3} + 64 x^{7} \left(1 - x^{2}\right)^{4}}{64 \left(1 - x^{2}\right)^{8}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{x^{7}}{\left(x^{2} - 1\right)^{5}}$

Respuesta:

$- \frac{x^{7}}{\left(x^{2} - 1\right)^{5}}$