Derivada de y=(3x^3+6x)/(7x^4+2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 3 x^{3} + 6 x$ y $g{\left(x \right)} = 7 x^{4} + 2$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $3 x^{3} + 6 x$ miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

         Entonces, como resultado: $9 x^{2}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $6$

      Como resultado de: $9 x^{2} + 6$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $7 x^{4} + 2$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

         Entonces, como resultado: $28 x^{3}$

      Como resultado de: $28 x^{3}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 28 x^{3} \left(3 x^{3} + 6 x\right) + \left(9 x^{2} + 6\right) \left(7 x^{4} + 2\right)}{\left(7 x^{4} + 2\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{- 21 x^{6} - 126 x^{4} + 18 x^{2} + 12}{49 x^{8} + 28 x^{4} + 4}$

Respuesta:

$\frac{- 21 x^{6} - 126 x^{4} + 18 x^{2} + 12}{49 x^{8} + 28 x^{4} + 4}$