Derivada de y=tan(x^5+2)

1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

   $\tan{\left(x^{5} + 2 \right)} = \frac{\sin{\left(x^{5} + 2 \right)}}{\cos{\left(x^{5} + 2 \right)}}$

2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{5} + 2 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{5} + 2 \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{5} + 2$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{5} + 2\right)$:

      1. diferenciamos $x^{5} + 2$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{5}$ tenemos $5 x^{4}$

         2. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

         Como resultado de: $5 x^{4}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $5 x^{4} \cos{\left(x^{5} + 2 \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{5} + 2$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{5} + 2\right)$:

      1. diferenciamos $x^{5} + 2$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{5}$ tenemos $5 x^{4}$

         2. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

         Como resultado de: $5 x^{4}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 5 x^{4} \sin{\left(x^{5} + 2 \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{5 x^{4} \sin^{2}{\left(x^{5} + 2 \right)} + 5 x^{4} \cos^{2}{\left(x^{5} + 2 \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{5} + 2 \right)}}$

3. Simplificamos:

   $\frac{5 x^{4}}{\cos^{2}{\left(x^{5} + 2 \right)}}$

Respuesta:

$\frac{5 x^{4}}{\cos^{2}{\left(x^{5} + 2 \right)}}$