Derivada de y=sinx^3/(2x-7)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 2 x - 7$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $2 x - 7$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $-7$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de: $2$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{3 \left(2 x - 7\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{\left(2 x - 7\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(\left(6 x - 21\right) \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(2 x - 7\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{\left(\left(6 x - 21\right) \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(2 x - 7\right)^{2}}$