Derivada de y=(e^(4x))/((3x+5)^(3))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = e^{4 x}$ y $g{\left(x \right)} = \left(3 x + 5\right)^{3}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 4 x$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $4$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $4 e^{4 x}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x + 5$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(3 x + 5\right)$:

      1. diferenciamos $3 x + 5$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $9 \left(3 x + 5\right)^{2}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{4 \left(3 x + 5\right)^{3} e^{4 x} - 9 \left(3 x + 5\right)^{2} e^{4 x}}{\left(3 x + 5\right)^{6}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(12 x + 11\right) e^{4 x}}{\left(3 x + 5\right)^{4}}$

Respuesta:

$\frac{\left(12 x + 11\right) e^{4 x}}{\left(3 x + 5\right)^{4}}$