Sr Examen

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y=tgx+(1+ctgx)*cosx
Derivada de la función/ y=tgx/ y=tgx+(1+ctgx)*cosx

Derivada de y=tgx+(1+ctgx)*cosx

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
tan(x) + (1 + cot(x))*cos(x)
(cot⁡(x)+1)cos⁡(x)+tan⁡(x)\left(\cot{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} 
tan(x) + (1 + cot(x))*cos(x)
Solución detallada

  1. diferenciamos (cot⁡(x)+1)cos⁡(x)+tan⁡(x)\left(\cot{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} miembro por miembro:

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    3. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=cot⁡(x)+1f{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} + 1; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. diferenciamos cot⁡(x)+1\cot{\left(x \right)} + 1 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. Hay varias formas de calcular esta derivada.

          Method #1

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

          2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

          3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

          4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

            1. ddxtan⁡(x)=1cos⁡2(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

          Method #2

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

        Como resultado de: −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

      g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

      Como resultado de: −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡(x)tan⁡2(x)−(cot⁡(x)+1)sin⁡(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - \left(\cot{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}

    Como resultado de: −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡(x)tan⁡2(x)+sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)−(cot⁡(x)+1)sin⁡(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \left(\cot{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}

  2. Simplificamos:

    −2sin⁡(x+π4)+1cos⁡2(x)−cos⁡(x)sin⁡2(x)- \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

Respuesta:

−2sin⁡(x+π4)+1cos⁡2(x)−cos⁡(x)sin⁡2(x)- \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
       2      /        2   \                             
1 + tan (x) + \-1 - cot (x)/*cos(x) - (1 + cot(x))*sin(x)
−(cot⁡(x)+1)sin⁡(x)+(−cot⁡2(x)−1)cos⁡(x)+tan⁡2(x)+1- \left(\cot{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} + \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                         /       2   \            /       2   \            /       2   \              
-(1 + cot(x))*cos(x) + 2*\1 + cot (x)/*sin(x) + 2*\1 + tan (x)/*tan(x) + 2*\1 + cot (x)/*cos(x)*cot(x)
2(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)−(cot⁡(x)+1)cos⁡(x)+2(cot⁡2(x)+1)sin⁡(x)+2(cot⁡2(x)+1)cos⁡(x)cot⁡(x)2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \left(\cot{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
               2                                        2                                                                                                                           
  /       2   \                            /       2   \             /       2   \               2    /       2   \     /       2   \                      2    /       2   \       
2*\1 + tan (x)/  + (1 + cot(x))*sin(x) - 2*\1 + cot (x)/ *cos(x) + 3*\1 + cot (x)/*cos(x) + 4*tan (x)*\1 + tan (x)/ - 6*\1 + cot (x)/*cot(x)*sin(x) - 4*cot (x)*\1 + cot (x)/*cos(x)
2(tan⁡2(x)+1)2+4(tan⁡2(x)+1)tan⁡2(x)+(cot⁡(x)+1)sin⁡(x)−2(cot⁡2(x)+1)2cos⁡(x)−6(cot⁡2(x)+1)sin⁡(x)cot⁡(x)−4(cot⁡2(x)+1)cos⁡(x)cot⁡2(x)+3(cot⁡2(x)+1)cos⁡(x)2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + \left(\cot{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} - 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cos{\left(x \right)} - 6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} - 4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \cot^{2}{\left(x \right)} + 3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=tgx+(1+ctgx)*cosx
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