Derivada de y=(2x-5)/(x^2+4)^3

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 2 x - 5$ y $g{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 4\right)^{3}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $2 x - 5$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $-5$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de: $2$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2} + 4$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4\right)$:

      1. diferenciamos $x^{2} + 4$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Como resultado de: $2 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $6 x \left(x^{2} + 4\right)^{2}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 6 x \left(2 x - 5\right) \left(x^{2} + 4\right)^{2} + 2 \left(x^{2} + 4\right)^{3}}{\left(x^{2} + 4\right)^{6}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 \left(x^{2} - 3 x \left(2 x - 5\right) + 4\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{4}}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(x^{2} - 3 x \left(2 x - 5\right) + 4\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{4}}$