Derivada de (x-tanx)/(x-sinx)

Solución

Ha introducido [src]

x - tan(x)
----------
x - sin(x)

$$\frac{x - \tan{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}}$$

(x - tan(x))/(x - sin(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x - \tan{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x - \sin{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $x - \tan{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del seno es igual al coseno:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    Entonces, como resultado: $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  Como resultado de: $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $x - \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Entonces, como resultado: $- \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $1 - \cos{\left(x \right)}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \left(x - \tan{\left(x \right)}\right) + \left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right)}{\left(x - \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{x \cos^{3}{\left(x \right)} - x + 2 \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \sin{\left(x \right)}\right)^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{x \cos^{3}{\left(x \right)} - x + 2 \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \sin{\left(x \right)}\right)^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

      2                                  
   tan (x)     (-1 + cos(x))*(x - tan(x))
- ---------- + --------------------------
  x - sin(x)                     2       
                     (x - sin(x))

$$- \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}} + \frac{\left(x - \tan{\left(x \right)}\right) \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(x - \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$$

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Segunda derivada [src]

 /                                      /                 2         \                          \ 
 |                                      |  2*(-1 + cos(x))          |                          | 
 |                         (x - tan(x))*|- ---------------- + sin(x)|        2                 | 
 |  /       2   \                       \     x - sin(x)            /   2*tan (x)*(-1 + cos(x))| 
-|2*\1 + tan (x)/*tan(x) + ------------------------------------------ + -----------------------| 
 \                                         x - sin(x)                          x - sin(x)      / 
-------------------------------------------------------------------------------------------------
                                            x - sin(x)

$$- \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{\left(x - \tan{\left(x \right)}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right)}{x - \sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

                                                 /                 3                                  \                                                                                 
                                                 |  6*(-1 + cos(x))    6*(-1 + cos(x))*sin(x)         |             /                 2         \                                       
                                    (x - tan(x))*|- ---------------- + ---------------------- + cos(x)|        2    |  2*(-1 + cos(x))          |                                       
                                                 |               2           x - sin(x)               |   3*tan (x)*|- ---------------- + sin(x)|     /       2   \                     
    /       2   \ /         2   \                \   (x - sin(x))                                     /             \     x - sin(x)            /   6*\1 + tan (x)/*(-1 + cos(x))*tan(x)
- 2*\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/ - ------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------- - ------------------------------------
                                                                 x - sin(x)                                              x - sin(x)                              x - sin(x)             
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                       x - sin(x)

$$\frac{- 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - \frac{\left(x - \tan{\left(x \right)}\right) \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}} - \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{3}}{\left(x - \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}\right)}{x - \sin{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\sin{\left(x \right)} - \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}} - \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}$$

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Derivada de (x-tanx)/(x-sinx)

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