Sr Examen
Ecuación diferencial tan(3*x)x'=e^(2*y)*yy'
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2*y(x)
tan(3*x) = --(y(x))*e *y(x)
dx
$$\tan{\left(3 x \right)} = y{\left(x \right)} e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
tan(3*x) = y*exp(2*y)*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \tan{\left(3 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \tan{\left(3 x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{e^{- 2 y{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{e^{- 2 y{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y{\left(x \right)} e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \tan{\left(3 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y{\left(x \right)} e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \tan{\left(3 x \right)}$$
o
$$- dy y{\left(x \right)} e^{2 y{\left(x \right)}} = - dx \tan{\left(3 x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y e^{2 y}\right)\, dy = \int \left(- \tan{\left(3 x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\left(1 - 2 y\right) e^{2 y}}{4} = Const + \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{W\left(C_{1} - \frac{4 \log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3 e^{1}}\right)}{2} + \frac{1}{2}$$
$$y{\left(x \right)} e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \tan{\left(3 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \tan{\left(3 x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{e^{- 2 y{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{e^{- 2 y{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y{\left(x \right)} e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \tan{\left(3 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y{\left(x \right)} e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \tan{\left(3 x \right)}$$
o
$$- dy y{\left(x \right)} e^{2 y{\left(x \right)}} = - dx \tan{\left(3 x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y e^{2 y}\right)\, dy = \int \left(- \tan{\left(3 x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\left(1 - 2 y\right) e^{2 y}}{4} = Const + \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{W\left(C_{1} - \frac{4 \log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3 e^{1}}\right)}{2} + \frac{1}{2}$$
Respuesta
[src]
/ -1 \
| 4*e *log(cos(3*x))|
W|C1 - -------------------|
1 \ 3 /
y(x) = - + ---------------------------
2 2
$$y{\left(x \right)} = \frac{W\left(C_{1} - \frac{4 \log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3 e}\right)}{2} + \frac{1}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.4784415674313363)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 6.397106897951207e+170)
(7.777777777777779, 8.388243571810329e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)