Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \tan{\left(3 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \tan{\left(3 x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{e^{- 2 y{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{e^{- 2 y{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y{\left(x \right)} e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \tan{\left(3 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y{\left(x \right)} e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \tan{\left(3 x \right)}$$
o
$$- dy y{\left(x \right)} e^{2 y{\left(x \right)}} = - dx \tan{\left(3 x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y e^{2 y}\right)\, dy = \int \left(- \tan{\left(3 x \right)}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$\frac{\left(1 - 2 y\right) e^{2 y}}{4} = Const + \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{W\left(C_{1} - \frac{4 \log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3 e^{1}}\right)}{2} + \frac{1}{2}$$