Sr Examen
Ecuación diferencial yln(x)y'=((y+1)^3)/x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
3 d (1 + y(x)) --(y(x))*log(x)*y(x) = ----------- dx x
$$y{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(y{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{x}$$
y*log(x)*y' = (y + 1)^3/x
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(y{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \left(y{\left(x \right)} + 1\right)^{3}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\log{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(y{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{x \log{\left(x \right)}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\left(y{\left(x \right)} + 1\right)^{3}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} + 1\right)^{3}} = \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} + 1\right)^{3}} = \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} + 1\right)^{3}} = \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\left(y + 1\right)^{3}}\, dy = \int \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{2 y + 1}{2 y^{2} + 4 y + 2} = Const + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{- C_{1} + \frac{\sqrt{2 C_{1} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1}}{2} - \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{1}{2}}{C_{1} + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - \frac{C_{1} + \frac{\sqrt{2 C_{1} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1}}{2} + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{1}{2}}{C_{1} + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$$
$$y{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(y{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \left(y{\left(x \right)} + 1\right)^{3}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\log{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(y{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{x \log{\left(x \right)}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\left(y{\left(x \right)} + 1\right)^{3}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} + 1\right)^{3}} = \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} + 1\right)^{3}} = \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} + 1\right)^{3}} = \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\left(y + 1\right)^{3}}\, dy = \int \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{2 y + 1}{2 y^{2} + 4 y + 2} = Const + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{- C_{1} + \frac{\sqrt{2 C_{1} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1}}{2} - \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{1}{2}}{C_{1} + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - \frac{C_{1} + \frac{\sqrt{2 C_{1} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1}}{2} + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{1}{2}}{C_{1} + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$$
Respuesta
[src]
__________________________
1 \/ 1 + 2*C1 + 2*log(log(x))
- - + ---------------------------- - C1 - log(log(x))
2 2
y(x) = -----------------------------------------------------
C1 + log(log(x))
$$y{\left(x \right)} = \frac{- C_{1} + \frac{\sqrt{2 C_{1} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1}}{2} - \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{1}{2}}{C_{1} + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$$
/ __________________________ \
|1 \/ 1 + 2*C1 + 2*log(log(x)) |
-|- + C1 + ---------------------------- + log(log(x))|
\2 2 /
y(x) = -------------------------------------------------------
C1 + log(log(x))
$$y{\left(x \right)} = - \frac{C_{1} + \frac{\sqrt{2 C_{1} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 1}}{2} + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{1}{2}}{C_{1} + \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$$
Clasificación
separable
1st exact
lie group
separable Integral
1st exact Integral