Sr Examen
Ecuación diferencial xyy'=(1+x^2)/(1-y^2)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d 1 + x
x*--(y(x))*y(x) = ---------
dx 2
1 - y (x)
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 1}{1 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
x*y*y' = (x^2 + 1)/(1 - y^2)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 1}{1 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x^{2} + 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{1 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x^{2} + 1}{x \left(y^{2}{\left(x \right)} - 1\right)}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{1 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\left(1 - y^{2}{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x + \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(1 - y^{2}{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(x + \frac{1}{x}\right)$$
o
$$dy \left(1 - y^{2}{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)} = dx \left(x + \frac{1}{x}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y \left(1 - y^{2}\right)\, dy = \int \left(x + \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{4}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{1 - \sqrt{C_{1} - 2 x^{2} - 4 \log{\left(x \right)}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{1 - \sqrt{C_{1} - 2 x^{2} - 4 \log{\left(x \right)}}}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{\sqrt{C_{1} - 2 x^{2} - 4 \log{\left(x \right)}} + 1}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{\sqrt{C_{1} - 2 x^{2} - 4 \log{\left(x \right)}} + 1}$$
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 1}{1 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x^{2} + 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{1 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x^{2} + 1}{x \left(y^{2}{\left(x \right)} - 1\right)}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{1 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\left(1 - y^{2}{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x + \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(1 - y^{2}{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(x + \frac{1}{x}\right)$$
o
$$dy \left(1 - y^{2}{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)} = dx \left(x + \frac{1}{x}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y \left(1 - y^{2}\right)\, dy = \int \left(x + \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{4}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{1 - \sqrt{C_{1} - 2 x^{2} - 4 \log{\left(x \right)}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{1 - \sqrt{C_{1} - 2 x^{2} - 4 \log{\left(x \right)}}}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{\sqrt{C_{1} - 2 x^{2} - 4 \log{\left(x \right)}} + 1}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{\sqrt{C_{1} - 2 x^{2} - 4 \log{\left(x \right)}} + 1}$$
Respuesta
[src]
_______________________________
/ ______________________
/ / 2
y(x) = -\/ 1 - \/ C1 - 4*log(x) - 2*x
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{1 - \sqrt{C_{1} - 2 x^{2} - 4 \log{\left(x \right)}}}$$
_______________________________
/ ______________________
/ / 2
y(x) = \/ 1 - \/ C1 - 4*log(x) - 2*x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{1 - \sqrt{C_{1} - 2 x^{2} - 4 \log{\left(x \right)}}}$$
_______________________________
/ ______________________
/ / 2
y(x) = -\/ 1 + \/ C1 - 4*log(x) - 2*x
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{\sqrt{C_{1} - 2 x^{2} - 4 \log{\left(x \right)}} + 1}$$
_______________________________
/ ______________________
/ / 2
y(x) = \/ 1 + \/ C1 - 4*log(x) - 2*x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{\sqrt{C_{1} - 2 x^{2} - 4 \log{\left(x \right)}} + 1}$$
Clasificación
separable
lie group
separable Integral