Sr Examen
Ecuación diferencial 4y"-8y'+5y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
- 8*--(y(x)) + 4*---(y(x)) + 5*y(x) = 0
dx 2
dx
$$5 y{\left(x \right)} - 8 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 4 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
5*y - 8*y' + 4*y'' = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$4$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{5 y{\left(x \right)}}{4} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -2$$
$$q = \frac{5}{4}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 2 k + \frac{5}{4} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 1 - \frac{i}{2}$$
$$k_{2} = 1 + \frac{i}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(1 - \frac{i}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + \frac{i}{2}\right)}$$
$$4$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{5 y{\left(x \right)}}{4} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = -2$$
$$q = \frac{5}{4}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 2 k + \frac{5}{4} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 1 - \frac{i}{2}$$
$$k_{2} = 1 + \frac{i}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(1 - \frac{i}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + \frac{i}{2}\right)}$$
Respuesta
[src]
/ /x\ /x\\ x
y(x) = |C1*sin|-| + C2*cos|-||*e
\ \2/ \2//
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary