Ecuación diferencial 2y"+5y'=x^2+x+1

Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$2$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{5 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = \frac{5}{2}$$
$$q = 0$$
$$s = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{5 k}{2} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{5}{2}$$
$$k_{2} = 0$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- \frac{5 x}{2}} + C_{2}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- \frac{5 x}{2}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-5*x/2) (C1=1, C2=0),
y2(x) = 1 (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} 1 \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- \frac{5 x}{2}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$$
o
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$- \frac{5 e^{- \frac{5 x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{\left(x^{2} + x + 1\right) e^{\frac{5 x}{2}}}{5}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{x}{5} + \frac{1}{5}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{\left(x^{2} + x + 1\right) e^{\frac{5 x}{2}}}{5}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(\frac{x^{2}}{5} + \frac{x}{5} + \frac{1}{5}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(- 50 x^{2} - 10 x - 46\right) e^{\frac{5 x}{2}}}{625}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{x^{3}}{15} + \frac{x^{2}}{10} + \frac{x}{5}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- \frac{5 x}{2}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{5 x}{2}} + C_{4} + \frac{x^{3}}{15} + \frac{x^{2}}{50} + \frac{23 x}{125} - \frac{46}{625}$$
donde C3 y C4 hay son constantes