Ecuación diferencial y’’-4y’+4y=8e^(-2x)

Tenemos la ecuación:
$$4 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 8 e^{- 2 x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = -4$$
$$q = 4$$
$$s = - 8 e^{- 2 x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = 2$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = 2$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{2 x} + C_{2} x e^{2 x}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{2 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(2*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(2*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 8 e^{- 2 x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{2 x} = 8 e^{- 2 x}$$
o
$$x e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(2 x e^{2 x} + e^{2 x}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 8 e^{- 2 x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - 8 x e^{- 4 x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 8 e^{- 4 x}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- 8 x e^{- 4 x}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int 8 e^{- 4 x}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(4 x + 1\right) e^{- 4 x}}{2}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - 2 e^{- 4 x}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{2 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{2 x} + C_{4} x e^{2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2}$$
donde C3 y C4 hay son constantes