Ecuación diferencial -7*y+6*y'+y''=3*e^2*x-e^(-x)

Tenemos la ecuación:
$$- 7 y{\left(x \right)} + 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 3 x e^{2} - e^{- x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = 6$$
$$q = -7$$
$$s = - 3 x e^{2} + e^{- x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 6 k - 7 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -7$$
$$k_{2} = 1$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 7 x} + C_{2} e^{x}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 7 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-7*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 3 x e^{2} - e^{- x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 7 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x} = 3 x e^{2} - e^{- x}$$
o
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 7 e^{- 7 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 3 x e^{2} - e^{- x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\left(- 3 x e^{x + 2} + 1\right) e^{6 x}}{8}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\left(3 x e^{x + 2} - 1\right) e^{- 2 x}}{8}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\left(- 3 x e^{x + 2} + 1\right) e^{6 x}}{8}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\left(3 x e^{x + 2} - 1\right) e^{- 2 x}}{8}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(- 1008 x e^{2} + 144 e^{2}\right) \left(e^{6 x}\right)^{\frac{7}{6}}}{18816} + \frac{e^{6 x}}{48}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\left(- 48 x e^{2} - 48 e^{2}\right) \sqrt{e^{- 2 x}}}{128} + \frac{e^{- 2 x}}{16}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 7 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 7 x} + C_{4} e^{x} - \frac{3 x e^{2} \sqrt{e^{- 2 x}} e^{x}}{8} - \frac{3 x e^{2} e^{- 7 x} \left(e^{6 x}\right)^{\frac{7}{6}}}{56} - \frac{3 e^{2} \sqrt{e^{- 2 x}} e^{x}}{8} + \frac{e^{- x}}{12} + \frac{3 e^{2} e^{- 7 x} \left(e^{6 x}\right)^{\frac{7}{6}}}{392}$$
donde C3 y C4 hay son constantes