Ecuación diferencial x^2*y'=(2*y-1)*sin(1/x)

Tenemos la ecuación:
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(2 y{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 2 y{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$2 y{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 y{\left(x \right)} - 1} = \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 y{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$$
o
$$\frac{dy}{2 y{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{2 y - 1}\, dy = \int \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(2 y - 1 \right)}}{2} = Const + \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} e^{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}}{2} + \frac{1}{2}$$