Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación y'=y/(x+1)e^x(x+1)
- Ecuación y'=2*y^2/x^3
- Ecuación (xy^2+x)dx+(y-x^2y)dy=0
- Ecuación y'=4*y/x
- Derivada de:
-
-1
- Límite de la función:
-
-1
- Forma canónica:
- -1
-
Expresiones idénticas
- dos xy'y''-(y')^2=- uno
- 2xy signo de prima para el primer (1) orden y dos signos de prima para el segundo (2) orden menos (y signo de prima para el primer (1) orden ) al cuadrado es igual a menos 1
- dos xy signo de prima para el primer (1) orden y dos signos de prima para el segundo (2) orden menos (y signo de prima para el primer (1) orden ) al cuadrado es igual a menos uno
- 2xy'y''-(y')2=-1
- 2xy'y''-y'2=-1
- 2xy'y''-(y')²=-1
- 2xy'y''-(y') en el grado 2=-1
- 2xy'y''-y'^2=-1
-
Expresiones semejantes
- 2xy'y''+(y')^2=-1
- 2xy'y''-(y')^2=+1
Ecuación diferencial 2xy'y''-(y')^2=-1
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 2
/d \ d d
- |--(y(x))| + 2*x*--(y(x))*---(y(x)) = -1
\dx / dx 2
dx
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} = -1$$
2*x*y'*y'' - y'^2 = -1
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} = -1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \frac{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 1}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \frac{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 1}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 1} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 1} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{2 dy' \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 1} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2 y'}{y'^{2} - 1}\right)\, dy' = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y'^{2} - 1 \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} x + 1}$$
$$\operatorname{y'2} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} x + 1}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \sqrt{C_{1} x + 1}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{2 \left(C_{1} x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3 C_{1}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \sqrt{C_{1} x + 1}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{2 \left(C_{1} x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3 C_{1}}$$
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} = -1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \frac{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 1}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \frac{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 1}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 1} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 1} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{2 dy' \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 1} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2 y'}{y'^{2} - 1}\right)\, dy' = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y'^{2} - 1 \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} x + 1}$$
$$\operatorname{y'2} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} x + 1}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \sqrt{C_{1} x + 1}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{2 \left(C_{1} x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3 C_{1}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \sqrt{C_{1} x + 1}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{2 \left(C_{1} x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3 C_{1}}$$
Respuesta
[src]
3/2
2*(1 + C2*x)
y(x) = C1 - ---------------
3*C2
$$y{\left(x \right)} = C_{1} - \frac{2 \left(C_{2} x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3 C_{2}}$$
3/2
2*(1 + C2*x)
y(x) = C1 + ---------------
3*C2
$$y{\left(x \right)} = C_{1} + \frac{2 \left(C_{2} x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3 C_{2}}$$
Clasificación
factorable
nth order reducible