Tenemos la ecuación:
$$- a \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} - b + c \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + k \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = b$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \frac{1}{- a + c + k}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$\frac{1}{- a + c + k}$$
obtendremos
$$\left(- a + c + k\right) \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = b$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(- a + c + k\right) \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = b dx$$
o
$$dy' \left(- a + c + k\right) = b dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- a + c + k\right)\, dy' = \int b\, dx$$
Solución detallada de la integral con y'Solución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$y' \left(- a + c + k\right) = Const + b x$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} + \frac{b x}{- a + c + k}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} + \frac{b x}{- a + c + k}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} x + C_{2} - \frac{b x^{2}}{2 a - 2 c - 2 k}$$