Sr Examen
Ecuación diferencial 5y''(t)+3y(t)=7*1(t)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d
3*t*y(t) + 5*t*---(y(t)) = 7*t
2
dt
$$3 t y{\left(t \right)} + 5 t \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = 7 t$$
3*t*y + 5*t*y'' = 7*t
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$3 t y{\left(t \right)} + 5 t \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = 7 t$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = \frac{7}{5} - \frac{3 y{\left(t \right)}}{5}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 1$$
En esta ecuación las variables t y y' ya están separadas.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$dt \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = dt \left(\frac{7}{5} - \frac{3 y{\left(t \right)}}{5}\right)$$
o
$$dy' = dt \left(\frac{7}{5} - \frac{3 y{\left(t \right)}}{5}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int 1\, dy' = \int \left(\frac{7}{5} - \frac{3 y{\left(t \right)}}{5}\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$y' = Const - \frac{\int \left(-7\right)\, dt + \int 3 y{\left(t \right)}\, dt}{5}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(t \right)} = C_{1} + \frac{7 t}{5} - \frac{3 \int y{\left(t \right)}\, dt}{5}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}\, dt = \int \left(C_{1} + \frac{7 t}{5} - \frac{3 \int y{\left(t \right)}\, dt}{5}\right)\, dt$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(t \right)} = C_{2} + \frac{\int 5 C_{1}\, dt + \int 7 t\, dt + \int \left(- 3 \int y{\left(t \right)}\, dt\right)\, dt}{5}$$
$$3 t y{\left(t \right)} + 5 t \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = 7 t$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = \frac{7}{5} - \frac{3 y{\left(t \right)}}{5}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 1$$
En esta ecuación las variables t y y' ya están separadas.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$dt \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = dt \left(\frac{7}{5} - \frac{3 y{\left(t \right)}}{5}\right)$$
o
$$dy' = dt \left(\frac{7}{5} - \frac{3 y{\left(t \right)}}{5}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int 1\, dy' = \int \left(\frac{7}{5} - \frac{3 y{\left(t \right)}}{5}\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$y' = Const - \frac{\int \left(-7\right)\, dt + \int 3 y{\left(t \right)}\, dt}{5}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(t \right)} = C_{1} + \frac{7 t}{5} - \frac{3 \int y{\left(t \right)}\, dt}{5}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}\, dt = \int \left(C_{1} + \frac{7 t}{5} - \frac{3 \int y{\left(t \right)}\, dt}{5}\right)\, dt$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(t \right)} = C_{2} + \frac{\int 5 C_{1}\, dt + \int 7 t\, dt + \int \left(- 3 \int y{\left(t \right)}\, dt\right)\, dt}{5}$$
Respuesta
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7 |t*\/ 15 | |t*\/ 15 |
y(t) = - + C1*sin|--------| + C2*cos|--------|
3 \ 5 / \ 5 /
$$y{\left(t \right)} = C_{1} \sin{\left(\frac{\sqrt{15} t}{5} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{15} t}{5} \right)} + \frac{7}{3}$$
Clasificación
factorable