Ecuación diferencial y"+4y'+4y=e^x-e^-x

Tenemos la ecuación:
$$4 y{\left(x \right)} + 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = e^{x} - e^{- x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = 4$$
$$q = 4$$
$$s = - e^{x} + e^{- x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 4 k + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = -2$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = -2$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 2 x} + C_{2} x e^{- 2 x}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- 2 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 2 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-2*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(-2*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = e^{x} - e^{- x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 2 x} = e^{x} - e^{- x}$$
o
$$x e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 2 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = e^{x} - e^{- x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = x \left(1 - e^{2 x}\right) e^{x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = e^{3 x} - e^{x}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int x \left(1 - e^{2 x}\right) e^{x}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(e^{3 x} - e^{x}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(1 - 3 x\right) e^{3 x}}{9} + \frac{\left(9 x - 9\right) e^{x}}{9}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{e^{3 x}}{3} - e^{x}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- 2 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 2 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 2 x} + C_{4} x e^{- 2 x} + \frac{e^{x}}{9} - e^{- x}$$
donde C3 y C4 hay son constantes