Ecuación diferencial y'=((1-2x)sqrt(y-1))

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(1 - 2 x\right) \sqrt{y{\left(x \right)} - 1}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1 - 2 x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{y{\left(x \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{y{\left(x \right)} - 1}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)} - 1}} = 1 - 2 x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)} - 1}} = dx \left(1 - 2 x\right)$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{y{\left(x \right)} - 1}} = dx \left(1 - 2 x\right)$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{y - 1}}\, dy = \int \left(1 - 2 x\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$2 \sqrt{y - 1} = Const - x^{2} + x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} - \frac{C_{1} x^{2}}{2} + \frac{C_{1} x}{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + 1$$