Ecuación diferencial y''+5y'+6y=-3e^(-2t)+t-65

Tenemos la ecuación:
$$6 y{\left(t \right)} + 5 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = t - 65 - 3 e^{- 2 t}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = 5$$
$$q = 6$$
$$s = - t + 65 + 3 e^{- 2 t}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 5 k + 6 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -3$$
$$k_{2} = -2$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{k_{1} t} + C_{2} e^{k_{2} t}$$
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{- 3 t} + C_{2} e^{- 2 t}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{- 3 t} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{- 2 t}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(-3*t) (C1=1, C2=0),
y2(t) = exp(-2*t) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = t - 65 - 3 e^{- 2 t}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{- 3 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{- 3 t} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{- 2 t} = t - 65 - 3 e^{- 2 t}$$
o
$$e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{- 3 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$- 2 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} - 3 e^{- 3 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = t - 65 - 3 e^{- 2 t}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = \left(- t e^{2 t} + 65 e^{2 t} + 3\right) e^{t}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = t e^{2 t} - 65 e^{2 t} - 3$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \left(- t e^{2 t} + 65 e^{2 t} + 3\right) e^{t}\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int \left(t e^{2 t} - 65 e^{2 t} - 3\right)\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \frac{\left(196 - 3 t\right) e^{3 t}}{9} + 3 e^{t}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} - 3 t + \frac{\left(2 t - 131\right) e^{2 t}}{4}$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{- 3 t} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{- 2 t}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{3} e^{- 3 t} + C_{4} e^{- 2 t} + \frac{t}{6} - 3 t e^{- 2 t} - \frac{395}{36} + 3 e^{- 2 t}$$
donde C3 y C4 hay son constantes