Sr Examen
Ecuación diferencial x*y'=y^2/(1-y)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d y (x) x*--(y(x)) = -------- dx 1 - y(x)
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{1 - y{\left(x \right)}}$$
x*y' = y^2/(1 - y)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{1 - y{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y^{2}{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(y{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(y{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{dy \left(y{\left(x \right)} - 1\right)}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y - 1}{y^{2}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} + \frac{1}{y} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{e^{- C_{1} + W\left(- x e^{C_{1}}\right)}}{x}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{1 - y{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y^{2}{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(y{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(y{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{dy \left(y{\left(x \right)} - 1\right)}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y - 1}{y^{2}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} + \frac{1}{y} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{e^{- C_{1} + W\left(- x e^{C_{1}}\right)}}{x}$$
Respuesta
[src]
/ C1\
-C1 + W\-x*e /
e
y(x) = ----------------
x
$$y{\left(x \right)} = \frac{e^{- C_{1} + W\left(- x e^{C_{1}}\right)}}{x}$$
Clasificación
separable
1st exact
separable reduced
lie group
separable Integral
1st exact Integral
separable reduced Integral