Ecuación diferencial (2x+5)y'+10y=10(2x+5)

Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$2 x + 5$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{\left(2 x + 5\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 10 y{\left(x \right)}}{2 x + 5} = \frac{20 x + 50}{2 x + 5}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y' + P(x)y = Q(x)

donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{10}{2 x + 5}$$
y
$$Q{\left(x \right)} = \frac{20 x + 50}{2 x + 5}$$
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y' + P(x)y = 0

con variables separables
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:

De y' + P(x)y = 0 obtenemos

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{10}{2 x + 5}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{10}{2 x + 5}\, dx = 5 \log{\left(2 x + 5 \right)} + Const$$
Solución detallada de la integral
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = \frac{e^{C_{1}}}{\left(2 x + 5\right)^{5}}$$
$$y_{2} = - \frac{e^{C_{2}}}{\left(2 x + 5\right)^{5}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = \frac{C}{\left(2 x + 5\right)^{5}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y' + P(x)y = Q(x)

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Ahora consideremos que C es la función de x

$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{\left(2 x + 5\right)^{5}}$$
Y lo sustituimos en la ecuación inicial.
Usando las reglas
- de diferenciación del producto;
- de la derivada de una función compuesta,
hallamos que
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Sustituimos Q(x) y P(x) en esta ecuación.
Recibimos la ecuación diferencial más simple para C(x):
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = \left(2 x + 5\right)^{4} \left(20 x + 50\right)$$
Es decir, C(x) =
$$\int \left(2 x + 5\right)^{4} \left(20 x + 50\right)\, dx = \left(\frac{160 x^{6}}{3} + 800 x^{5} + 5000 x^{4} + \frac{50000 x^{3}}{3} + 31250 x^{2} + 31250 x\right) + Const$$
Solución detallada de la integral
sustituimos C(x) en
$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{\left(2 x + 5\right)^{5}}$$
y recibimos la respuesta definitiva para y(x):
$$\frac{\frac{160 x^{6}}{3} + 800 x^{5} + 5000 x^{4} + \frac{50000 x^{3}}{3} + 31250 x^{2} + 31250 x + Const}{\left(2 x + 5\right)^{5}}$$