Sr Examen
Ecuación diferencial (2x*x*y'')+4y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
2 d
4*y(x) + 2*x *---(y(x)) = 0
2
dx
$$2 x^{2} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} = 0$$
2*x^2*y'' + 4*y = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$2 x^{2} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 2$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$2$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{2} = - \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{2} = - \frac{dx y{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
o
$$\frac{dy'}{2} = - \frac{dx y{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{2}\, dy' = \int \left(- \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y'}{2} = Const - \int \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} - 2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} - 2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \int \left(C_{1} - 2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx\right)\, dx$$
$$2 x^{2} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 2$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$2$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{2} = - \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{2} = - \frac{dx y{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
o
$$\frac{dy'}{2} = - \frac{dx y{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{2}\, dy' = \int \left(- \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y'}{2} = Const - \int \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} - 2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} - 2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \int \left(C_{1} - 2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx\right)\, dx$$
Respuesta
[src]
/ / ___ \ / ___ \\
___ | |\/ 7 *log(x)| |\/ 7 *log(x)||
y(x) = \/ x *|C1*sin|------------| + C2*cos|------------||
\ \ 2 / \ 2 //
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{x} \left(C_{1} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} \log{\left(x \right)}}{2} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{7} \log{\left(x \right)}}{2} \right)}\right)$$
Clasificación
nth linear euler eq homogeneous
2nd power series regular