Sr Examen
Ecuación diferencial y''-4y'+8y=(e^x)(2sinx-cosx)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d d x
- 4*--(y(x)) + 8*y(x) + ---(y(x)) = (-cos(x) + 2*sin(x))*e
dx 2
dx
$$8 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
8*y - 4*y' + y'' = (2*sin(x) - cos(x))*exp(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$8 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -4$$
$$q = 8$$
$$s = - \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k + 8 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 2 - 2 i$$
$$k_{2} = 2 + 2 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(2 - 2 i\right)} + C_{2} e^{x \left(2 + 2 i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 + 2 i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(2 - 2*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(2 + 2*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(2 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(2 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(2 - 2 i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(2 + 2 i\right)} = \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
o
$$e^{x \left(2 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(2 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(2 - 2 i\right) e^{x \left(2 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(2 + 2 i\right) e^{x \left(2 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = i \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}\right) e^{- x + 2 i x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{i \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x \left(1 + 2 i\right)}}{4}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int i \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}\right) e^{- x + 2 i x}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{i \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x \left(1 + 2 i\right)}}{4}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + i \left(- \frac{e^{- x} e^{2 i x} \sin{\left(x \right)}}{8} - \frac{i e^{- x} e^{2 i x} \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{e^{- x} e^{2 i x} \cos{\left(x \right)}}{8}\right)$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{i \left(\frac{e^{- x} e^{- 2 i x} \sin{\left(x \right)}}{2} - i e^{- x} e^{- 2 i x} \sin{\left(x \right)} - \frac{e^{- x} e^{- 2 i x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)}{4}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 + 2 i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{2 x} e^{- 2 i x} + C_{4} e^{2 x} e^{2 i x} + \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$8 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -4$$
$$q = 8$$
$$s = - \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k + 8 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 2 - 2 i$$
$$k_{2} = 2 + 2 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(2 - 2 i\right)} + C_{2} e^{x \left(2 + 2 i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 + 2 i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(2 - 2*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(2 + 2*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(2 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(2 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(2 - 2 i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(2 + 2 i\right)} = \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
o
$$e^{x \left(2 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(2 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(2 - 2 i\right) e^{x \left(2 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(2 + 2 i\right) e^{x \left(2 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = i \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}\right) e^{- x + 2 i x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{i \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x \left(1 + 2 i\right)}}{4}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int i \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}\right) e^{- x + 2 i x}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{i \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x \left(1 + 2 i\right)}}{4}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + i \left(- \frac{e^{- x} e^{2 i x} \sin{\left(x \right)}}{8} - \frac{i e^{- x} e^{2 i x} \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{e^{- x} e^{2 i x} \cos{\left(x \right)}}{8}\right)$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{i \left(\frac{e^{- x} e^{- 2 i x} \sin{\left(x \right)}}{2} - i e^{- x} e^{- 2 i x} \sin{\left(x \right)} - \frac{e^{- x} e^{- 2 i x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right)}{4}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 + 2 i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{2 x} e^{- 2 i x} + C_{4} e^{2 x} e^{2 i x} + \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
/sin(x) x\ x
y(x) = |------ + (C1*sin(2*x) + C2*cos(2*x))*e |*e
\ 2 /
$$y{\left(x \right)} = \left(\left(C_{1} \sin{\left(2 x \right)} + C_{2} \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right) e^{x}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral