Sr Examen
Ecuación diferencial ysqrtlny=y'sqrt(x-2)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
___________ ________ d
\/ log(y(x)) *y(x) = \/ -2 + x *--(y(x))
dx
$$y{\left(x \right)} \sqrt{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \sqrt{x - 2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
y*sqrt(log(y)) = sqrt(x - 2)*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{x - 2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} \sqrt{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y{\left(x \right)} \sqrt{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y{\left(x \right)} \sqrt{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \sqrt{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}} = - \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \sqrt{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}} = - \frac{dx}{\sqrt{x - 2}}$$
o
$$- \frac{dy}{y{\left(x \right)} \sqrt{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}} = - \frac{dx}{\sqrt{x - 2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y \sqrt{\log{\left(y \right)}}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x - 2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- 2 \sqrt{\log{\left(y \right)}} = Const - 2 \sqrt{x - 2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1}^{2}}{4} + C_{1} \sqrt{x - 2} + x - 2}$$
$$\sqrt{x - 2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} \sqrt{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y{\left(x \right)} \sqrt{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y{\left(x \right)} \sqrt{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \sqrt{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}} = - \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \sqrt{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}} = - \frac{dx}{\sqrt{x - 2}}$$
o
$$- \frac{dy}{y{\left(x \right)} \sqrt{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}} = - \frac{dx}{\sqrt{x - 2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y \sqrt{\log{\left(y \right)}}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x - 2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- 2 \sqrt{\log{\left(y \right)}} = Const - 2 \sqrt{x - 2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1}^{2}}{4} + C_{1} \sqrt{x - 2} + x - 2}$$
Respuesta
[src]
2
C1 ________
-2 + x + --- + C1*\/ -2 + x
4
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1}^{2}}{4} + C_{1} \sqrt{x - 2} + x - 2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)