Sr Examen
Ecuación diferencial y’=1/(9x-2y)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 1 --(y(x)) = ------------- dx -2*y(x) + 9*x
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{9 x - 2 y{\left(x \right)}}$$
y' = 1/(9*x - 2*y)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{1}{9 x - 2 y{\left(x \right)}} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 9 x - 2 y{\left(x \right)}$$
y porque
$$9 - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{9}{2} - \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2}$$
sustituimos
$$\frac{d}{d x} \left(\frac{9 x}{2} - \frac{u{\left(x \right)}}{2}\right) - \frac{1}{u{\left(x \right)}} = 0$$
o
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} + \frac{9}{2} - \frac{1}{u{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = -9 + \frac{2}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$-9 + \frac{2}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{9 u{\left(x \right)} - 2} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{9 u{\left(x \right)} - 2} = - dx$$
o
$$- \frac{du u{\left(x \right)}}{9 u{\left(x \right)} - 2} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u}{9 u - 2}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{9} - \frac{2 \log{\left(9 u - 2 \right)}}{81} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{2 W\left(- \frac{\sqrt{C_{1} e^{81 x}}}{2 e^{1}}\right)}{9} + \frac{2}{9}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{2 W\left(\frac{\sqrt{C_{1} e^{81 x}}}{2 e^{1}}\right)}{9} + \frac{2}{9}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{9 x}{2} - \frac{u{\left(x \right)}}{2}$$
$$y1 = y(x) = \frac{9 x}{2} - \frac{W\left(- \frac{\sqrt{C_{1} e^{81 x}}}{2 e}\right)}{9} - \frac{1}{9}$$
$$y2 = y(x) = \frac{9 x}{2} - \frac{W\left(\frac{\sqrt{C_{1} e^{81 x}}}{2 e}\right)}{9} - \frac{1}{9}$$
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{1}{9 x - 2 y{\left(x \right)}} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 9 x - 2 y{\left(x \right)}$$
y porque
$$9 - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{9}{2} - \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2}$$
sustituimos
$$\frac{d}{d x} \left(\frac{9 x}{2} - \frac{u{\left(x \right)}}{2}\right) - \frac{1}{u{\left(x \right)}} = 0$$
o
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} + \frac{9}{2} - \frac{1}{u{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = -9 + \frac{2}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$-9 + \frac{2}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{9 u{\left(x \right)} - 2} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{9 u{\left(x \right)} - 2} = - dx$$
o
$$- \frac{du u{\left(x \right)}}{9 u{\left(x \right)} - 2} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u}{9 u - 2}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{9} - \frac{2 \log{\left(9 u - 2 \right)}}{81} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{2 W\left(- \frac{\sqrt{C_{1} e^{81 x}}}{2 e^{1}}\right)}{9} + \frac{2}{9}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{2 W\left(\frac{\sqrt{C_{1} e^{81 x}}}{2 e^{1}}\right)}{9} + \frac{2}{9}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{9 x}{2} - \frac{u{\left(x \right)}}{2}$$
$$y1 = y(x) = \frac{9 x}{2} - \frac{W\left(- \frac{\sqrt{C_{1} e^{81 x}}}{2 e}\right)}{9} - \frac{1}{9}$$
$$y2 = y(x) = \frac{9 x}{2} - \frac{W\left(\frac{\sqrt{C_{1} e^{81 x}}}{2 e}\right)}{9} - \frac{1}{9}$$
Respuesta
[src]
/ / 27 3 \ / 1 \ / 27 3 / 5 \ / 1 \\ \
| 4*|- -- - --| 3*|6 + --| | - -- - -- 3*|18 + --| 3*|6 + --|| |
/ / 27 3 \ / 1 \ \ | 108 \ 2 C1/ \ C1/ / 27 3 \ / 135 \ | 135 2 C1 \ C1/ \ C1/| / 1 \ / 2 \ / / 27 3 \ / 1 \\ / / 27 3 \ / 135 \ / 1 \ / 2 \\|
| 4*|- -- - --| 3*|6 + --| | | 486 + --- - ------------- + ---------- 36*|- -- - --| 8*|-243 - ----| 8*|-243 - ---- + --------- - ----------- - ----------| 54*|6 + --| 54*|9 + --| | 4*|- -- - --| 3*|6 + --|| | 18*|- -- - --| 4*|-243 - ----| 27*|6 + --| 27*|9 + --|||
/ 1 \ | 108 \ 2 C1/ \ C1/ / 2 \ / 1 \| | 4860 C1 C1 C1 \ 2 C1/ \ 2*C1/ \ 2*C1 C1 2*C1 4*C1 / \ C1/ \ C1/ / 2 \ / 5 \ / 1 \ | 108 \ 2 C1/ \ C1/| | 2430 \ 2 C1/ \ 2*C1/ \ C1/ \ C1/||
| 6 + --| | 486 + --- - ------------- + ---------- 54*|9 + --| 27*|6 + --|| | 17496 + ---- + -------------------------------------- - -------------- - --------------- - ------------------------------------------------------ + ----------- + ----------- 972*|9 + --| 972*|18 + --| 486*|6 + --| 9*|486 + --- - ------------- + ----------| 2*|8748 + ---- - -------------- - --------------- + ----------- + -----------||
2 / 1 \ 3 | 9 C1| 4 | 972 C1 C1 C1 \ C1/ \ C1/| 5 | 43740 C1 C1 C1 C1 C1 C1 C1 \ C1/ \ C1/ \ C1/ \ C1 C1 C1 / \ C1 C1 C1 C1 C1 /|
x *|-9 - --| x *|-54 - -- - ------| x *|-4374 - --- - -------------------------------------- - ----------- - -----------| x *|-157464 - ----- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - ------------ - ------------- - ------------ - ------------------------------------------ - ------------------------------------------------------------------------------|
x \ C1/ \ C1 C1 / \ C1 C1 C1 C1 / \ C1 C1 C1 C1 C1 C1 C1 / / 6\
y(x) = C1 - ---- + ------------ + ---------------------- + ------------------------------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + O\x /
2*C1 2 3 4 5
8*C1 16*C1 384*C1 3840*C1
$$y{\left(x \right)} = \frac{x^{5} \left(-157464 - \frac{486 \left(6 + \frac{1}{C_{1}}\right)}{C_{1}} - \frac{972 \left(9 + \frac{2}{C_{1}}\right)}{C_{1}} - \frac{972 \left(18 + \frac{5}{C_{1}}\right)}{C_{1}} - \frac{9 \left(486 - \frac{4 \left(- \frac{27}{2} - \frac{3}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{3 \left(6 + \frac{1}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{108}{C_{1}}\right)}{C_{1}} - \frac{2 \left(8748 - \frac{4 \left(-243 - \frac{135}{2 C_{1}}\right)}{C_{1}} - \frac{18 \left(- \frac{27}{2} - \frac{3}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{27 \left(6 + \frac{1}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{27 \left(9 + \frac{2}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{2430}{C_{1}}\right)}{C_{1}} - \frac{17496 - \frac{8 \left(-243 - \frac{135}{2 C_{1}}\right)}{C_{1}} - \frac{36 \left(- \frac{27}{2} - \frac{3}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{54 \left(6 + \frac{1}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{54 \left(9 + \frac{2}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{486 - \frac{4 \left(- \frac{27}{2} - \frac{3}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{3 \left(6 + \frac{1}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{108}{C_{1}}}{C_{1}} - \frac{8 \left(-243 + \frac{- \frac{27}{2} - \frac{3}{C_{1}}}{C_{1}} - \frac{3 \left(6 + \frac{1}{C_{1}}\right)}{4 C_{1}} - \frac{3 \left(18 + \frac{5}{C_{1}}\right)}{2 C_{1}} - \frac{135}{2 C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{4860}{C_{1}}}{C_{1}} - \frac{43740}{C_{1}}\right)}{3840 C_{1}^{5}} + \frac{x^{4} \left(-4374 - \frac{27 \left(6 + \frac{1}{C_{1}}\right)}{C_{1}} - \frac{54 \left(9 + \frac{2}{C_{1}}\right)}{C_{1}} - \frac{486 - \frac{4 \left(- \frac{27}{2} - \frac{3}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{3 \left(6 + \frac{1}{C_{1}}\right)}{C_{1}} + \frac{108}{C_{1}}}{C_{1}} - \frac{972}{C_{1}}\right)}{384 C_{1}^{4}} + \frac{x^{3} \left(-54 - \frac{6 + \frac{1}{C_{1}}}{C_{1}} - \frac{9}{C_{1}}\right)}{16 C_{1}^{3}} + \frac{x^{2} \left(-9 - \frac{1}{C_{1}}\right)}{8 C_{1}^{2}} - \frac{x}{2 C_{1}} + C_{1} + O\left(x^{6}\right)$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
1st power series
lie group
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7225856546532038)
(-5.555555555555555, 0.6860718916248034)
(-3.333333333333333, 0.6311924581033628)
(-1.1111111111111107, 0.5169039058749704)
(1.1111111111111107, 0.08079402998109009)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 4.3149409499051355e-61)
(7.777777777777779, 8.388243566956394e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)