Ecuación diferencial y'=(y+t)/(y+1)

Tenemos la ecuación:
$$- \frac{t + y{\left(t \right)}}{y{\left(t \right)} + 1} + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(t \right)} = \frac{y{\left(t \right)} + 1}{t - 1}$$
y porque
$$y{\left(t \right)} = \left(t - 1\right) u{\left(t \right)} - 1$$
entonces
$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = \left(t - 1\right) \frac{d}{d t} u{\left(t \right)} + u{\left(t \right)}$$
sustituimos
$$- \frac{t}{\left(t - 1\right) u{\left(t \right)}} + \left(t - 1\right) \frac{d}{d t} u{\left(t \right)} + u{\left(t \right)} - \frac{\left(t - 1\right) u{\left(t \right)} - 1}{\left(t - 1\right) u{\left(t \right)}} = 0$$
o
$$\left(t - 1\right) \frac{d}{d t} u{\left(t \right)} + u{\left(t \right)} - 1 - \frac{1}{u{\left(t \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - \frac{1}{t - 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{- u^{2}{\left(t \right)} + u{\left(t \right)} + 1}{u{\left(t \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{- u^{2}{\left(t \right)} + u{\left(t \right)} + 1}{u{\left(t \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{u{\left(t \right)} \frac{d}{d t} u{\left(t \right)}}{u^{2}{\left(t \right)} - u{\left(t \right)} - 1} = - \frac{1}{t - 1}$$
Con esto hemos separado las variables t y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt u{\left(t \right)} \frac{d}{d t} u{\left(t \right)}}{u^{2}{\left(t \right)} - u{\left(t \right)} - 1} = - \frac{dt}{t - 1}$$
o
$$\frac{du u{\left(t \right)}}{u^{2}{\left(t \right)} - u{\left(t \right)} - 1} = - \frac{dt}{t - 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{u}{u^{2} - u - 1}\, du = \int \left(- \frac{1}{t - 1}\right)\, dt$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}\right) \log{\left(u - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + \left(\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}\right) \log{\left(u - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)} = Const - \log{\left(t - 1 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

hacemos cambio inverso
$$u{\left(t \right)} = \frac{y{\left(t \right)} + 1}{t - 1}$$
$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}\right) \log{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{y{\left(t \right)} + 1}{t - 1} \right)} + \left(\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}\right) \log{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{y{\left(t \right)} + 1}{t - 1} \right)} = Const - \log{\left(t - 1 \right)}$$