Ecuación diferencial xy′+y=(x^(3/2))(y^(5/2))(lnx)

Tenemos la ecuación:
$$- x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{5}{2}}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u^{\frac{5}{2}}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
o
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{u^{\frac{5}{2}}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u^{\frac{5}{2}}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u^{\frac{5}{2}}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{\frac{5}{2}}{\left(x \right)}} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{\frac{5}{2}}{\left(x \right)}} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$
o
$$\frac{du}{u^{\frac{5}{2}}{\left(x \right)}} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{u^{\frac{5}{2}}}\, du = \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{2}{3 u^{\frac{3}{2}}} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = 2 \sqrt[3]{2} \left(- \frac{1}{C_{1} + 3 \log{\left(x \right)}^{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{\left(- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}^{2}}\right)^{\frac{2}{3}} \left(- \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i\right)}{3}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{2 \sqrt[3]{2} \left(- \frac{1}{C_{1} + 3 \log{\left(x \right)}^{2}}\right)^{\frac{2}{3}}}{x}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\left(- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}^{2}}\right)^{\frac{2}{3}} \left(- \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i\right)}{3 x}$$