Sr Examen
Ecuación diferencial ay''+y'+by=x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
a*---(y(x)) + b*y(x) + --(y(x)) = x
2 dx
dx
$$a \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + b y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
a*y'' + b*y + y' = x
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$a$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{a \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + b y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{a} = \frac{x}{a}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = \frac{1}{a}$$
$$q = \frac{b}{a}$$
$$s = - \frac{x}{a}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{b}{a} + \frac{k}{a} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{\sqrt{- 4 a b + 1} - 1}{2 a}$$
$$k_{2} = - \frac{\sqrt{- 4 a b + 1} + 1}{2 a}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} + C_{2} e^{- \frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(sqrt(-4*a*b + 1) - 1)/(2*a)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(-x*(sqrt(-4*a*b + 1) + 1)/(2*a)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{a}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{- \frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}} = \frac{x}{a}$$
o
$$e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{\left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right) e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)}}{2 a} - \frac{\left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right) e^{- \frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)}}{2 a} = \frac{x}{a}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{x e^{\frac{x \left(1 - \sqrt{- 4 a b + 1}\right)}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a b + 1}}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{x e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a b + 1}}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{x e^{\frac{x \left(1 - \sqrt{- 4 a b + 1}\right)}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a b + 1}}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{x e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a b + 1}}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \begin{cases} \frac{\left(8 a^{3} b + 4 a^{2} b x \sqrt{- 4 a b + 1} - 8 a^{2} b x + 2 a^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} - 2 a^{2} - 2 a x \sqrt{- 4 a b + 1} + 2 a x\right) e^{\frac{x \left(1 - \sqrt{- 4 a b + 1}\right)}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} - 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} + 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} - 2} & \text{for}\: 8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} - 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} + 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} - 2 \neq 0 \\\frac{x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a b + 1}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \begin{cases} \frac{\left(- 8 a^{3} b + 4 a^{2} b x \sqrt{- 4 a b + 1} + 8 a^{2} b x + 2 a^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 2 a^{2} - 2 a x \sqrt{- 4 a b + 1} - 2 a x\right) e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} & \text{for}\: 8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2 \neq 0 \\- \frac{x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a b + 1}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + C_{4} e^{- \frac{x}{2 a}} e^{- \frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + \left(\begin{cases} \frac{8 a^{3} b e^{\frac{x}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 24 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 14 a b e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 2 e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}} + \frac{4 a^{2} b x \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 24 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 14 a b e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 2 e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}} - \frac{8 a^{2} b x e^{\frac{x}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 24 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 14 a b e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 2 e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}} + \frac{2 a^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 24 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 14 a b e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 2 e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}} - \frac{2 a^{2} e^{\frac{x}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 24 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 14 a b e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 2 e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}} - \frac{2 a x \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 24 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 14 a b e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 2 e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}} + \frac{2 a x e^{\frac{x}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 24 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 14 a b e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 2 e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}} & \text{for}\: 8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} - 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} + 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} - 2 \neq 0 \\\frac{x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a b + 1}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{- \frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + \left(\begin{cases} - \frac{8 a^{3} b e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} + \frac{4 a^{2} b x \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} + \frac{8 a^{2} b x e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} + \frac{2 a^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} + \frac{2 a^{2} e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} - \frac{2 a x \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} - \frac{2 a x e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} & \text{for}\: 8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2 \neq 0 \\- \frac{x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a b + 1}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{- \frac{x}{2 a}} e^{- \frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$a$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{a \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + b y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{a} = \frac{x}{a}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = \frac{1}{a}$$
$$q = \frac{b}{a}$$
$$s = - \frac{x}{a}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{b}{a} + \frac{k}{a} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{\sqrt{- 4 a b + 1} - 1}{2 a}$$
$$k_{2} = - \frac{\sqrt{- 4 a b + 1} + 1}{2 a}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} + C_{2} e^{- \frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(sqrt(-4*a*b + 1) - 1)/(2*a)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(-x*(sqrt(-4*a*b + 1) + 1)/(2*a)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{a}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{\partial}{\partial x} e^{- \frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}} = \frac{x}{a}$$
o
$$e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{- \frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{\left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right) e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)}}{2 a} - \frac{\left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right) e^{- \frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)}}{2 a} = \frac{x}{a}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{x e^{\frac{x \left(1 - \sqrt{- 4 a b + 1}\right)}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a b + 1}}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{x e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a b + 1}}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{x e^{\frac{x \left(1 - \sqrt{- 4 a b + 1}\right)}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a b + 1}}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{x e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}}}{\sqrt{- 4 a b + 1}}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \begin{cases} \frac{\left(8 a^{3} b + 4 a^{2} b x \sqrt{- 4 a b + 1} - 8 a^{2} b x + 2 a^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} - 2 a^{2} - 2 a x \sqrt{- 4 a b + 1} + 2 a x\right) e^{\frac{x \left(1 - \sqrt{- 4 a b + 1}\right)}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} - 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} + 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} - 2} & \text{for}\: 8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} - 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} + 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} - 2 \neq 0 \\\frac{x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a b + 1}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \begin{cases} \frac{\left(- 8 a^{3} b + 4 a^{2} b x \sqrt{- 4 a b + 1} + 8 a^{2} b x + 2 a^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 2 a^{2} - 2 a x \sqrt{- 4 a b + 1} - 2 a x\right) e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} & \text{for}\: 8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2 \neq 0 \\- \frac{x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a b + 1}} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- \frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} + 1\right)}{2 a}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + C_{4} e^{- \frac{x}{2 a}} e^{- \frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + \left(\begin{cases} \frac{8 a^{3} b e^{\frac{x}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 24 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 14 a b e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 2 e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}} + \frac{4 a^{2} b x \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 24 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 14 a b e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 2 e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}} - \frac{8 a^{2} b x e^{\frac{x}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 24 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 14 a b e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 2 e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}} + \frac{2 a^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 24 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 14 a b e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 2 e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}} - \frac{2 a^{2} e^{\frac{x}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 24 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 14 a b e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 2 e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}} - \frac{2 a x \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 24 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 14 a b e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 2 e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}} + \frac{2 a x e^{\frac{x}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 24 a^{2} b^{2} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 14 a b e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} - 2 e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}} & \text{for}\: 8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} - 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} + 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} - 2 \neq 0 \\\frac{x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a b + 1}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{- \frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}} + \left(\begin{cases} - \frac{8 a^{3} b e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} + \frac{4 a^{2} b x \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} + \frac{8 a^{2} b x e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} + \frac{2 a^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} + \frac{2 a^{2} e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} - \frac{2 a x \sqrt{- 4 a b + 1} e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} - \frac{2 a x e^{\frac{x}{2 a}} e^{\frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}}{8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2} & \text{for}\: 8 a^{2} b^{2} \sqrt{- 4 a b + 1} + 24 a^{2} b^{2} - 10 a b \sqrt{- 4 a b + 1} - 14 a b + 2 \sqrt{- 4 a b + 1} + 2 \neq 0 \\- \frac{x^{2}}{2 \sqrt{- 4 a b + 1}} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{- \frac{x}{2 a}} e^{- \frac{x \sqrt{- 4 a b + 1}}{2 a}}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
/ ___________\ / ___________\
x*\-1 - \/ 1 - 4*a*b / x*\-1 + \/ 1 - 4*a*b /
---------------------- ----------------------
1 2*a 2*a x
y(x) = - -- + C1*e + C2*e + -
2 b
b
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(- \sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} + C_{2} e^{\frac{x \left(\sqrt{- 4 a b + 1} - 1\right)}{2 a}} + \frac{x}{b} - \frac{1}{b^{2}}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral