Sr Examen
Ecuación diferencial 7y''-4y'+13y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
- 4*--(y(x)) + 7*---(y(x)) + 13*y(x) = 0
dx 2
dx
$$13 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 7 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
13*y - 4*y' + 7*y'' = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$7$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{13 y{\left(x \right)}}{7} - \frac{4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{7} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = - \frac{4}{7}$$
$$q = \frac{13}{7}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - \frac{4 k}{7} + \frac{13}{7} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{2}{7} - \frac{\sqrt{87} i}{7}$$
$$k_{2} = \frac{2}{7} + \frac{\sqrt{87} i}{7}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(\frac{2}{7} - \frac{\sqrt{87} i}{7}\right)} + C_{2} e^{x \left(\frac{2}{7} + \frac{\sqrt{87} i}{7}\right)}$$
$$7$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{13 y{\left(x \right)}}{7} - \frac{4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{7} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = - \frac{4}{7}$$
$$q = \frac{13}{7}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - \frac{4 k}{7} + \frac{13}{7} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{2}{7} - \frac{\sqrt{87} i}{7}$$
$$k_{2} = \frac{2}{7} + \frac{\sqrt{87} i}{7}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(\frac{2}{7} - \frac{\sqrt{87} i}{7}\right)} + C_{2} e^{x \left(\frac{2}{7} + \frac{\sqrt{87} i}{7}\right)}$$
Respuesta
[src]
2*x
/ / ____\ / ____\\ ---
| |x*\/ 87 | |x*\/ 87 || 7
y(x) = |C1*sin|--------| + C2*cos|--------||*e
\ \ 7 / \ 7 //
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\frac{\sqrt{87} x}{7} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{87} x}{7} \right)}\right) e^{\frac{2 x}{7}}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary